Немного о матрицах

Для математического подхода к решению запутанных задач (например, похожих на только что показанную) характерно не упрощение условий путем удаления их части, а наоборот, их усложнение путем ввода новых понятий. Здесь весьма полезно ввести понятие матрицы, хотя бы потому, что матричная алгебра достаточно известна (по крайней мере математикам). Линейное преобразование может быть представлено в виде матрицы, а применение нескольких преобразований эквивалентно умножению соответствующих матриц.

Матрица — это прямоугольный массив чисел. Вот массив, состоящий из трех столбцов и двух строк:

27 3

9 0

14 88

Матрицы обычно обозначают заглавными буквами. Умножение матриц можно записать так:

A × B = C

Число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В, а число строк произведения С — числу строк матрицы A. Число столбцов в матрице C равно числу столбцов матрицы B. Число в i-й строке j-го столбца матрицы C равно сумме произведений чисел -й строки матрицы A на соответствующие числа j-го столбца матрицы B ¹. Умножение матриц не коммутативно: произведение A × B не обязательно равняется произведению B × A.

Если бы мы не имели дело со смещением, мировые координаты (х, у) можно было представить в виде матрицы 1 × 2, а матрицу преобразования — как матрицу 2 × 2. Эти матрицы следует перемножить и выразить результирующие координаты на странице (х', у') в виде другой матрицы 1 × 2:

x y

×

sx rx ry sy

=

x' y'

Применение правил умножения матриц дает формулы:

x' = s_x · x + r_x · y

y' = r_y · x + s_y · y

Но это не совсем полные формулы. Мировое преобразование также включает значения смещения. Чтобы умножение матриц было корректным, нужно расширить матрицы мировых координат и координат на странице до размера 1 × 3, а преобразование будет представлять собой матрицу 3 × 3:

x y 1

×

sx rx dx ry sy dy 0  0  1

=

x' y' 1

А вот результирующие формулы:

x' = s_x · x + r_x · y + d_x

y' = r_y · x + s_y · y + d_y

Тип преобразований, который можно представить подобной матрицей, часто называют матричным преобразованием. У матричного преобразования, не изменяющего преобразуемый объект, коэффициент масштабирования равен 1, а коэффициенты r и d равны 0:

1  0  0

0  1  0

0  0  1

Такая матрица называется единичной (identity matrix).

¹ См. примеры из разделов 1-2 книги Pettofrezzo,