netlib.narod.ru< Назад | Оглавление | Далее >

Немного о матрицах

Для математического подхода к решению запутанных задач (например, похожих на только что показанную) характерно не упрощение условий путем удаления их части, а наоборот, их усложнение путем ввода новых понятий. Здесь весьма полезно ввести понятие матрицы, хотя бы потому, что матричная алгебра достаточно известна (по крайней мере математикам). Линейное преобразование может быть представлено в виде матрицы, а применение нескольких преобразований эквивалентно умножению соответствующих матриц.

Матрица — это прямоугольный массив чисел. Вот массив, состоящий из трех столбцов и двух строк:

Матрицы обычно обозначают заглавными буквами. Умножение матриц можно записать так:

Число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В, а число строк произведения С — числу строк матрицы A. Число столбцов в матрице C равно числу столбцов матрицы B. Число в i-й строке j-го столбца матрицы C равно сумме произведений чисел -й строки матрицы A на соответствующие числа j-го столбца матрицы B 1. Умножение матриц не коммутативно: произведение A × B не обязательно равняется произведению B × A.

Если бы мы не имели дело со смещением, мировые координаты (ху) можно было представить в виде матрицы 1 × 2, а матрицу преобразования — как матрицу 2 × 2. Эти матрицы следует перемножить и выразить результирующие координаты на странице (х'у') в виде другой матрицы 1 × 2:

Применение правил умножения матриц дает формулы:

Но это не совсем полные формулы. Мировое преобразование также включает значения смещения. Чтобы умножение матриц было корректным, нужно расширить матрицы мировых координат и координат на странице до размера 1 × 3, а преобразование будет представлять собой матрицу 3 × 3:

А вот результирующие формулы:

Тип преобразований, который можно представить подобной матрицей, часто называют матричным преобразованием. У матричного преобразования, не изменяющего преобразуемый объект, коэффициент масштабирования равен 1, а коэффициенты r и d равны 0:

Такая матрица называется единичной (identity matrix).



1 См. примеры из разделов 1-2 книги Pettofrezzo,


netlib.narod.ru< Назад | Оглавление | Далее >

Сайт управляется системой uCoz