Линейные преобразования

Рассмотрим действие различных методов преобразования с математической точки зрения. По-видимому, простейшим из этих методов является

  grfx.TranslateTransform(dx, dy);

где символы d_x и d_y обозначают координаты (d — это дельта, или приращение в математической символике). Мировое преобразование, осуществляемое при вызове этого метода, можно представить так:

x_стр. = x_мир. + d_x

y_стр. = y_мир. + d_y

Все довольно просто. Как видите, вызов TranslateTransform приводит к смещению всех координат.

А вот похожий вызов ScaleTransform:

  grfx.ScaleTransform(sx, sy);

Здесь s означает масштаб (scale), а мировое преобразование осуществляется путем умножения, а не сложения:

x_стр. = x_мир. × s_x

y_стр. = y_мир. × s_y

Действие масштабирования очень похоже на преобразование страницы.

Не буду заставлять вас гадать, что происходит при вызове:

  grfx.Rotate!ransfоrm(α);

с заданным углом α. Результирующее преобразование несколько сложнее и выглядит так:

x_стр. =   x_мир. · cos(α) + y_мир. · sin(α)

y_стр. = –x_мир. · sin(α) + y_мир. · cos(α)

Эта небольшая таблица синусов и косинусов поможет убедиться, что эти формулы действительно работают:

Кстати, если вы уже встречались с вращением во время работы в других средах программирования графики: эти две формулы вращения могут отличаться от виденных вами раньше. Дело в том, что GDI+ осуществляет вращение по часовой стрелке. В более математически ориентированных средах вращение выполняется против часовой стрелки. В этом случае член первой формулы, содержащий синус, является отрицательным, а аналогичный член второй формулы — положительным.

Все три вышеперечисленных преобразования можно обобщить двумя формулами:

x_стр. = s_x · x_мир. + r_x · y_мир. + d_x

y_стр. = r_y · x_мир. + s_y · y_мир. + d_y

где s_x, s_y, r_x, r_y, d_x и d_y — константы, определяющие некоторое преобразование. С коэффициентами масштабирования s_x и s_y, как и со значениями смещения d_x и d_y вы уже знакомы. Вы могли заметить, что некоторые комбинации s_x, s_y, r_x и r_y — комбинации, определяемые тригонометрическими функциями определенных углов, — задают вращение. У коэффициентов r_x и r_y есть собственный смысл, их действие на графику мы скоро выясним.

Вместе эти две формулы называются «общее линейное преобразование плоскости ¹». Хотя x_стр. и y_стр. одновременно являются функциями x_мир. и y_мир., в формулах линейного преобразования они не подвергаются возведению в степень или чему-то подобному. Линейность глобального преобразования предполагает существование у него некоторых ограничений:

• при глобальном преобразовании прямые всегда преобразуются в прямые и никогда — в кривые;

• параллельные линии никогда не становятся сходящимися;

• пара объектов с равными размерами никогда не будет преобразована в пару объектов, размеры которых не равны;

• параллелограммы (включая прямоугольники) всегда преобразуются в параллелограммы, а эллипсы — в эллипсы.

Преобразование, действующее на входе в событие Paint или PrintPage нового, еще не измененного класса Graphics, называется единичным: значения коэффициентов s_x и s_y этого преобразования равны 1, а остальные параметры — 0. Метод ResetTransform возвращает объект Graphics к использованию единичного преобразования.

Как вы уже видели, действие последовательных вызовов TranslateTransform, ScaleTransform и RotateTransform суммируется. Однако результирующее мировое преобразование может быть различным в зависимости от порядка вызова этих методов. Причину этого продемонстрировать несложно, но я немного боюсь, поэтому не обижусь, если вы закроете глаза и пропустите самое страшное.

Во-первых, предположим, что имеется глобальное преобразование, назовем его T₁:

x' = s_x1 · x + r_x1 · y + d_x1

y' = r_y1 · x + s_y1 · y + d_y1

Чтобы не использовать индексы для обозначения мировых координат и координат на странице, я обозначу первые просто x и y, а вторые — x' и y'. Введем второе преобразование T₂ с другими коэффициентами:

x' = s_x2 · x + r_x2 · y + d_x2

y' = r_y2 · x + s_y2 · y + d_y2

Применив к мировым координатам преобразование T₁, а к его результату — преобразование T₂, получаем следующее преобразование:

x' = s_x2 · s_x1 · x + s_x2 · r_x1 · y + s_x2 · d_x1 + r_x2 · r_y1 · x + r_x2 · s_y1 · y + r_x2 · d_y1 + d_x2

y' = r_y2 · s_x1 · x + r_y2 · r_x1 · y + r_y2 · d_x1 + s_y2 · r_y1 · x + s_y2 · s_y1 · y + s_y2 · d_y1 + d_y2

После приведения подобных получаем:

x' = (s_x2 · s_x1 + r_x2 · r_y1) · x + (s_x2 · r_x1 + r_x2 · s_y1) · y + (s_x2 · d_x1 + r_x2 · d_y1 + d_x2)

y' = (r_y2 · s_x1 + s_y2 · r_y1) · x + (r_y2 · r_x1 + s_y2 · s_y1) · y + (r_y2 · d_x1 + s_y2 · d_y1 + d_y2)

Если применить сначала T₂, а потом T₁, результат будет другим:

x' = s_x1 · s_x2 · x + s_x1 · r_x2 · y + s_x1 · d_x2 + r_x1 · r_y2 · x + r_x1 · s_y2 · y + r_x1 · d_y2 + d_x1

y' = r_y1 · s_x2 · x + r_y1 · r_x2 · y + r_y1 · d_x2 + s_y1 · r_y2 · x + s_y1 · s_y2 · y + s_y1 · d_y2 + d_y1

После приведения подобных получаем:

x' = (s_x1 · s_x2 + r_x1 · r_y2) · x + (s_x1 · r_x2 + r_x1 · s_y2) · y + (s_x1 · d_x2 + r_x1 · d_y2 + d_x1)

y' = (r_y1 · s_x2 + s_y1 · r_y2) · x + (r_y1 · r_x2 + s_y1 · s_y2) · y + (r_y1 · d_x2 + s_y1 · d_y2 + d_y1)

В этом-то, друзья мои, и причина разных результатов в зависимости о того, какой из методов — ScaleTransform или TranslateTransform — будет вызван первым.

¹ Строгое изложение математического подхода см. в разделе 3-7 главы 3 книги Anthony J. Pettofrezzo, Matrices and Transformations (New Yoik: Dover, 1978).